Cho các số nguyên dương a; b; c; d thỏa mãn a+b+c=2017
Chứng minh rằng gái trị biểu thức sau không phải là một số nguyên
\(A=\frac{a}{2017-c}+\frac{b}{2017-a}+\frac{c}{2017-b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 1 2017
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)}{2}.\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\) (a,b,c là các số dương)
Bạn thay vào A để tính.
10 tháng 3 2018
Ta có :
Thay \(a+b+c=2016\) vào A ta có :
\(A=\frac{a}{2016-c}+\frac{b}{2016-a}+\frac{c}{2016-b}\)
\(A=\frac{a}{a+b+c-c}+\frac{b}{a+b+c-a}+\frac{c}{a+b+c-b}\)
\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow\)\(A>1\)\(\left(1\right)\)
Lại có :
\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\)\(A< 2\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(1< A< 2\)
Vậy A không phải là số nguyên
Chúc bạn học tốt ~
EG
10 tháng 3 2018
Ta có:
\(A=\frac{a}{2016-c}+\frac{b}{2016-a}+\frac{c}{2016-b}\)
\(A=\frac{a}{a+b+c-c}+\frac{b}{a+b+c-a}+\frac{c}{a+b+c-b}\)
\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}\)
tự làm tiếp nhé!
NH
25 tháng 2 2021
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+a+c-b}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{c+a+b}=1\)
Do đó: \(\frac{a+b-c}{c}=1\)\(\Rightarrow a+b-c=c\)\(\Rightarrow a+b+c=3c\) (1)
\(\frac{b+c-a}{a}=1\)\(\Rightarrow b+c-a=a\)\(\Rightarrow b+c+a=3a\) (2)
\(\frac{a+c-b}{b}=1\)\(\Rightarrow a+c-b=b\)\(\Rightarrow a+c+b=3b\) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow3a=3b=3c\)\(\Rightarrow a=b=c\)
Ta có: \(T=\left(10+\frac{b}{a}\right)\left(4+\frac{2c}{b}\right)\left(2017+\frac{3a}{c}\right)\)
\(=\left(10+\frac{a}{a}\right)\left(4+\frac{2c}{c}\right)\left(2017+\frac{3a}{a}\right)\)
\(=\left(10+1\right)\left(4+2\right)\left(2017+3\right)\)
\(=11.6.2020=133320\)
p/s: làm thế này đúng không ta, mình hong chắc lắm
T
24 tháng 11 2016
theo bài ra ta có
\(\frac{a^{2015}}{b^{2017}+c^{2019}}=\frac{b^{2017}}{a^{2015}+c^{2019}}=\frac{c^{2019}}{a^{2015}+b^{2017}}\)
=>\(\frac{a^{2015}}{b^{2017}+c^{2019}}+1=\frac{b^{2017}}{a^{2015}+c^{2019}}+1=\frac{c^{2019}}{a^{2015}+b^{2017}}+1\)
=> \(\frac{a^{2015}+b^{2017}+c^{2019}}{b^{2017}+c^{2019}}=\frac{a^{2015}+b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}+c^{2019}}=\frac{a^{2015}+b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}+b^{2017}}\)
- nếu a2015+ b2017 +c2019 = 0
=> b2017+ c2019 = -(a2015) (1)
=> a2015+ c2019= -(b2017) (2)
=> a2015+ b2017= -(c2019) (3)
thay 1, 2, 3 vào S ta có:
S = \(\frac{b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}}+\frac{a^{2015}+c^{2019}}{b^{2017}}+\frac{a^{2015}+b^{2017}}{c^{2019}}\)
=> S =\(\frac{-\left(a^{2015}\right)}{a^{2015}}+\frac{-\left(b^{2017}\right)}{b^{2017}}+\frac{-\left(c^{2019}\right)}{c^{2019}}\)
S = -1 + -1 + -1
S = -3
vậy S ko phụ thuộc vào giá trị a,b,c
- nếu a2015+b2017+c2019 khác 0
=> b2017+c2019 = a2015+c2019=a2015+b2017
=> b2017 = a2015 = c2019
=>S=\(\frac{b^{2017}+c^{2019}}{a^{2015}}+\frac{a^{2015}+c^{2019}}{b^{2017}}+\frac{a^{2015}+b^{2017}}{c^{2019}}=\frac{2a^{2015}}{a^{2015}}+\frac{2b^{2017}}{b^{2017}}+\frac{2c^{2019}}{c^{2019}}=2+2+2=6\)
VẬY S ko phụ thuộc vào các giá trị của a,b,c
từ 2 trường hợp trên => giá trị của biểu thức S ko phụ thuộc vào giá trị của a,b,c (đpcm)
7 tháng 4 2017
\(a+b+c=2017\Rightarrow A=\dfrac{a}{a+b+c-c}+\dfrac{b}{a+b+c-b}+\dfrac{c}{a+b+c-a}\)
\(A=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow A< 2\left(1\right)\)
\(A>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow A>1\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< A< 2\)
vay A \(\notin Z\)
Thay \(a+b+c\) vào \(A\) ta được:
\(A=\frac{a}{2017-c}+\frac{b}{2017-a}+\frac{c}{2017-b}\)
\(=\frac{a}{a+b+c-c}+\frac{b}{a+b+c-a}+\frac{c}{a+b+c-b}\)
\(=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}\)
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow A< 2\left(1\right)\)
Lại có:
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế ta lại được:
\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow A>1\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow1< A< 2\)
Vậy \(A\) không phải là số nguyên (Đpcm)
cái này chứng minh 1 < A < 2. mình chỉ bít chứng minh 1 < A thui
Ta có \(\frac{a}{2017-c}>\frac{a}{2017};\frac{b}{2017-a}>\frac{b}{2017};\frac{c}{2017-b}>\frac{c}{2017}\)
suy ra \(A>\frac{a}{2017}+\frac{b}{2017}+\frac{c}{2017}=\frac{2017}{2017}=1\)
=> A > 1